\section{单位制及量纲}\label{sec:04.04}

现在我们将已讲过的物理量及其单位列在表\ref{tab:04.03}\,中。在这些物
理量中，长度、时间及质量三者都是由规定的标准来作为单位的。
而其他所有的量的单位可以根据相应的定义公式，从这三个单位
来规定。如，速度的单位是由它的定义式\eqref{eqn:01.07.02}来规定的，$ G $
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的单位是来自它的定义式
\begin{equation*}
  G = \frac { F r ^ { 2 } } { m _ { 1 } m _ { 2 } }
\end{equation*}
我们称长度、质量及时间三个物理量为基本量，它们的单位为基
本单位，称其他物理量为导出量，相应的单位为导出单位。
\begin{table}[h]
  \caption{}
  \label{tab:04.03}
  \zihao{-5}
  \begin{tblr}{colsep=1.4em,colspec={c|X[3]|X[3]|X[2]}}
    \toprule
    物理量      & \SetCell{c}单位(SI，MKS)                               & \SetCell{c}单位(CGS)                                  & \SetCell{c}量\qquad 纲                  \\
    \midrule
    长\quad 度 & 米                                                   & 厘米                                                  & $ L $                                 \\
    质\quad 量 & 千克                                                  & 克                                                   & $ M $                                 \\
    时\quad 间 & 秒                                                   & 秒                                                   & $ T $                                 \\
    速\quad 度 & 米/秒                                                 & 厘米/秒                                                & $ L T ^ { - 1 } $                     \\
    加速度      & 米/秒\textsuperscript{2}                              & 厘米/秒\textsuperscript{2}                             & $ L T ^ { - 2 } $                     \\
    角速度      & 弧度/秒                                                & 弧度/秒                                                & $ T ^ { - 1 } $                       \\
    力        & 牛顿                                                  & 达因                                                  & $ M L T ^ { - 2 } $                   \\
    $G$      & 牛顿$\cdot$米\textsuperscript{2}/千克\textsuperscript{2} & 达因$\cdot$厘米\textsuperscript{2}/克\textsuperscript{2} & $ L ^ { 3 } M ^ { - 1 } T ^ { - 2 } $ \\
    \bottomrule
  \end{tblr}
  \vspace{-0.8em}
\end{table}

基本单位规定之后，整个一系列单位就被规定了。所以一组
基本单位就决定了一个单位制。我们经常采用的单位制，是长度
以米为单位，质量以千克(或叫做公斤)为单位，时间以秒为单位。
这个单位制称为国际单位制(SI)或米千克秒制(MKS)

另一种常用的单位制，是采用厘米为长度单位，克为质量单
位，秒为时间单位，称为CGS制。$ 1 $厘米$ =1/100 $米，$ 1 $克$ =1/1000 $千
克。有了这一组基本单位之间的换算关系，导出单位的换算关系
也就确定了。例如，在CGS制中速度单位与SI制中速度单位之
间的关系为
\begin{equation*}
  1 \text{ 厘米/秒} = \frac { 1 } { 1 0 0 } \text{ 米/秒}
\end{equation*}
其他换算关系都可以类似求得。在数值运算中采用的单位制要统
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\clearpage\noindent
一，不要一个量用这个单位制，另一个量又用那个单位制。

我们把上述讨论更一般化，如果取$ L $为长度“单位”，$ M $为
质量“单位”，$ T $为时间“单位”，则导出量的“单位”也可以用
$ L , M , T $表示，速度的“单位”就是$ L / T = L T ^ { - 1 } $ ，加速度是
$ L / T ^ { 2 } = L T ^ { - 2 } $，每个物理量都对应着一个由$ L , M $及$ T $所组成的量，
这个量我们称为该物理量的量纲，从形式上可以说，物理量的量
纲，就是LMT制中的“单位”。我们习惯用一个方括号表示括号
中的物理量的量纲，如$ [ v ] = L T ^ { - 1 } , [ a ] = L T ^ { - 2 }$。各量的量纲，也
列在表\ref{tab:04.03}中。

量纲很有用，无论是标量的加减运算，或是矢量的和差，所
涉及的量都应具有相同的单位，即应有相同的量纲。由此，一个
公式两边的量应具有相同的量纲。这个性质，常可以作为判别某
些不熟悉的量的量纲的方法。例如，利用式\eqref{eqn:04.03.04}可以求得$ G $的
量纲。由于$ [ m _ { 1 } ] = [ m _ { 2 } ] = M , [ r ] = L , [ F ] = M L T ^ { - 2 } $，要求式两
边的量纲相同，可得：
\begin{align*}
  [ G ] & = \frac { [ F ] [ R ^ 2] } { [ m _ { 1 } ] [ m _ { 2 } ] } \\
        & = \frac { M L T ^ { - 2 } L ^ { 2 } } { M ^ { 2 } }        \\
        & = M ^ { - 1 } L ^ { 3 } T ^ { - 2 }
\end{align*}

弧度是根据圆的弧长与其半径之比来定义的，所以它的量纲
是$ L / L = L ^ { 0 } $，即与$ M , L , T $均无关。这种量，称为无量纲量。摩
擦系数也是一个无量纲量。

最后还应指出，可以不取长度、质量及时间三者为基本量，
而取另外三个量，如长度、时间及力，其他的量也都可以从长度、
时间及力三者导出，这样也可以规定单位制。这时，相当于由长
度$ L $、时间$ T $及力$ F $作为基本的量纲，其他量的量纲都可以用$ L $，
$ T $及$ F $表示出。选择不同的基本量，同一物理量的量纲就不同。
